Родился 18 июля 1913 года в деревне Большая Будница Невельского уезда Витебской губернии в крестьянской семье. С ранних лет приобщился к труду. В 1934 году был призван на флот. После окончания службы работал рулевым на теплоходе «Старый большевик».
Началась Великая Отечественная война. Экипаж теплохода перевозил военные грузы из союзных стран. В апреле–мае 1942 года «Старый большевик» шел в составе каравана из Нью-Йорка в Мурманск. На его борту были боеприпасы и авиационный бензин. Охранялся караван кораблями английского флота. Немецкие подлодки и авиация постоянно нападали на него. За трое суток зенитчики отразили 47 атак вражеских самолетов, умело действовал и рулевой Борис Аказенок. При входе в Баренцево море в районе острова Медвежий одна из фашистских бомб угодила в теплоход, начался пожар. Командир конвоя дважды предлагал экипажу покинуть судно, но советские моряки стремились спасти корабль и ценный груз. Б. И. Аказенок, рискуя жизнью, вместе с товарищами выносил из пламени ящики со снарядами и взрывчаткой. Почти восемь часов продолжалась упорная борьба экипажа с огнем, и пожар был ликвидирован. Через некоторое время теплоход догнал караван. Все суда приветствовали обгоревший, израненный корабль.