Алексей Андреевич Пурышев родился в крестьянской семье, трудовую деятельность начал учеником конторщика в магазинах Петербурга, в 1904–1914 гг. служил в армии: сначала рядовым, затем унтер-офицером в губернском казначействе. В 1915–1917 гг. он снова служил в армии: унтер-офицером запасного полка в Новгороде, затем курсантом Ораниенбаумской школы прапорщиков, комиссаром запасного пехотного полка в Твери, после этого работал в торговых, финансовых и кооперативных учреждениях Новгорода (1918–1922 гг.), в том числе в особом отделе ВЧК. В Новгороде он получил образование, сдав экстерном экзамены за 7 классов реального училища.
С декабря 1932 г. в качестве научного сотрудника Новгородского музея началась музейная деятельность А. А. Пурышева. С января 1934 г. по 2 марта 1937 г. он был ответственным секретарем и научным сотрудником Новгородской Истпарткомиссии, занимался сбором и научной обработкой материалов по истории революционного движения и по совместительству работал заведующим историко-революционным отделом, затем исполнял обязанности директора Управления Новгородских музеев. С ликвидацией 2 марта 1937 г. Истпарткомиссии А. А. Пурышев был переведен в Управление Новгородских государственных музеев на должность заведующего историческим музеем, где работал над созданием экспозиции периода капитализма, открывшейся 1 ноября 1927 г. В 1935–1937 гг. окончил вечерний курс райкомвуза.